非心カイ二乗分布

非心カイ二乗分布（ひしんカイにじょうぶんぷ、ひしんカイじじょうぶんぷ、英: noncentral chi-squared distribution）、または非心カイ自乗分布、非心カイ2乗分布、非心χ²分布とは、確率分布と統計学におけるカイ二乗分布の拡張である。

平均が μ_i で、分散が σ_i² の正規分布に従う k 個の独立な確率変数 X_i の場合、確率変数

${\displaystyle \sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$

は非心カイ二乗分布に従って分布する。

非心カイ二乗分布の母数は、以下の非心度と自由度の2つの母数で決定される。

1. k 自由度：独立な確率変数 X_i の個数
2. λ 非心度:確率変数 X_i の平均と標準偏差で記述される以下の量

${\displaystyle \lambda =\sum _{1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}.}$

参考書によっては λ を上記の総和の半分に定義している場合もあるので注意されたい。

関連する分布

• Z が カイ二乗分布に従い ${\displaystyle Z\sim \chi _{k}^{2}}$ の場合、Z は λ = 0 の非心カイ二乗分布である。

${\displaystyle Z\sim NC\chi _{k}^{2}(0)}$

• もしも ${\displaystyle J\sim \operatorname {Poisson} (\lambda /2)}$ ならば ${\displaystyle \chi _{k}^{2}(\lambda )\sim \chi _{k 2J}^{2}}$

翻訳元

本記事は英語版ウィキペディア記事

• Noncentral chi-square distribution. [:en] Wikipedia: Free Encyclopedia (English language), 2007-10-19 21:44 UTC

からの抄訳に基づいて作成された。

引用元

以下は英語版記事の引用元である。

• Abramowitz, M. and Stegun, I.A. (1972), Handbook of Mathematical Functions, Dover. Section 26.4.25.
• Johnson, N. L. and Kotz, S., (1970), Continuous Univariate Distributions, vol. 2, Houghton-Mifflin.